Phương sai là gì? Ý nghĩa, cách tính & mối quan hệ độ lệch chuẩn

Phương sai là một chỉ số thống kê cơ bản, dùng để đo lường mức độ phân tán của các điểm dữ liệu trong một tập hợp so với giá trị trung bình của chúng. Chỉ số này được tạo ra bằng cách tính trung bình các bình phương của sự chênh lệch giữa mỗi điểm dữ liệu và giá trị trung bình. Khi phương sai càng lớn, điều này cho thấy các giá trị càng phân tán rộng rãi xung quanh giá trị trung bình, phản ánh sự biến động mạnh mẽ hơn của dữ liệu. Việc hiểu rõ phương sai là gì giúp ta đánh giá được tính đồng nhất hay biến động của một tập dữ liệu.

Ý nghĩa của Phương sai

Phương sai có nhiều ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ nghiên cứu khoa học đến ứng dụng thực tiễn trong kinh doanh và tài chính.

Đo lường sự biến động dữ liệu

Chỉ số này biểu thị mức độ biến thiên hay dao động của dữ liệu trong một tập hợp, giúp ta nhanh chóng nhận diện tính ổn định của dữ liệu. Nếu phương sai nhỏ, các điểm dữ liệu có xu hướng gần nhau và gần giá trị trung bình, cho thấy dữ liệu ổn định. Ngược lại, phương sai lớn cho thấy dữ liệu phân tán rộng, biến động nhiều.

Đánh giá rủi ro trong tài chính

Trong lĩnh vực tài chính, phương sai đóng vai trò là một thước đo quan trọng để định lượng mức độ biến động giá của các loại tài sản như cổ phiếu, trái phiếu hay các quỹ đầu tư. Một tài sản có phương sai cao thường đi kèm với rủi ro cao hơn, bởi vì giá trị của nó biến động mạnh. Điều này hỗ trợ nhà đầu tư trong việc nhận diện và quản lý rủi ro, cân nhắc giữa lợi nhuận tiềm năng và mức độ biến động giá chấp nhận được.

Ứng dụng trong phân tích dữ liệu

Phương sai được áp dụng rộng rãi trong nhiều phương pháp phân tích dữ liệu thống kê. Ví dụ, trong phân tích thành phần chính (PCA), phương sai giúp xác định các thành phần chính yếu nhất trong dữ liệu, những thành phần giải thích phần lớn sự biến động. Trong phân tích nhóm (Cluster Analysis), phương sai được sử dụng để đánh giá độ chặt chẽ của các nhóm dữ liệu, góp phần vào việc khám phá cấu trúc và sự phân tán ẩn chứa trong dữ liệu.

Cách tính Phương sai

Để tính toán phương sai một cách chính xác, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Xác định giá trị trung bình (mean): của toàn bộ tập dữ liệu. Đây là bước đầu tiên để xác định điểm tham chiếu cho sự phân tán.

1. Tính toán độ lệch: của từng điểm dữ liệu so với giá trị trung bình đã tìm được. Cụ thể, bạn lấy giá trị của mỗi điểm dữ liệu trừ đi giá trị trung bình. Kết quả này có thể là số dương hoặc âm.
2. Thực hiện bình phương: các độ lệch này. Việc bình phương có hai mục đích: loại bỏ các giá trị âm (để tất cả các độ lệch đều đóng góp vào tổng) và tăng cường ảnh hưởng của các độ lệch lớn (một độ lệch lớn sẽ có bình phương lớn hơn nhiều so với một độ lệch nhỏ).
3. Lấy trung bình cộng: của tất cả các bình phương độ lệch đó. Kết quả thu được chính là phương sai.

Lưu ý: Đối với phương sai của tổng thể, ta chia tổng các bình phương độ lệch cho N (tổng số điểm dữ liệu). Đối với phương sai mẫu, thường chia cho (n-1) thay vì n, trong đó n là kích thước mẫu. Việc chia cho (n-1) giúp ước lượng phương sai tổng thể một cách không chệch khi làm việc với mẫu.

Công thức tính phương sai cho tổng thể (ký hiệu là σ²) và cho mẫu (ký hiệu là s²):

Phương sai tổng thể:
σ² = Σ(Xᵢ – μ)² / N
Trong đó:

• Xᵢ là từng điểm dữ liệu
• μ là giá trị trung bình của tổng thể
• N là tổng số điểm dữ liệu trong tổng thể

Phương sai mẫu:
s² = Σ(Xᵢ – x̄)² / (n – 1)
Trong đó:

• Xᵢ là từng điểm dữ liệu trong mẫu
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu
• n là kích thước mẫu

Mối quan hệ với Độ lệch chuẩn

Mối quan hệ giữa phương sai và độ lệch chuẩn là rất chặt chẽ và cơ bản trong thống kê. Hai chỉ số này thường được sử dụng cùng nhau để cung cấp một cái nhìn toàn diện về sự phân tán của dữ liệu.

• Phương sai: Phương sai là kết quả bình phương của độ lệch chuẩn. Điều này có nghĩa là đơn vị của phương sai là bình phương của đơn vị dữ liệu gốc (ví dụ, nếu dữ liệu là mét, phương sai sẽ là mét vuông).
• Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn được xác định là căn bậc hai của phương sai. Điểm đặc biệt của độ lệch chuẩn là nó có cùng đơn vị đo với dữ liệu gốc. Ví dụ, nếu dữ liệu là chiều cao tính bằng centimet, độ lệch chuẩn cũng sẽ được tính bằng centimet. Điều này giúp việc diễn giải và so sánh trở nên dễ dàng và trực quan hơn so với phương sai.

Do có cùng đơn vị với dữ liệu, độ lệch chuẩn thường được ưa chuộng hơn trong việc diễn giải thực tế về sự phân tán. Ví dụ, việc nói “chiều cao trung bình là 170cm với độ lệch chuẩn 5cm” sẽ trực quan hơn nhiều so với việc nói “chiều cao trung bình là 170cm với phương sai 25cm²”. Tuy nhiên, phương sai vẫn là một chỉ số quan trọng trong các tính toán thống kê và là nền tảng để tính toán độ lệch chuẩn.

Hiểu được phương sai là gì và mối quan hệ của nó với độ lệch chuẩn giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về tính chất và hành vi của dữ liệu.